Tajemnicze liczby, występujące pozornie bez żadnego wzoru czy reguły, mogą kryć w swoim układzie głębokie struktury. Badacze starają się odkryć je i zdefiniować od wieków. W dzisiejszym wpisie zagłębiamy się w świat, który tworzą liczby pierwsze. Można w nich bowiem odnaleźć nie tylko matematyczne piękno, ale także zaskakujące związki, które łączą te chaotyczne elementy w fascynujący układ.
Czy w tym szaleństwie jest jakiś porządek? Nie jest to blog matematyczny, więc kwestie te nie są przedstawione z chirurgiczną precyzją. Chciałam jednak zwrócić Waszą uwagę i zachęcić do odkrywania tego niezwykle interesującego zagadnienia.
Liczby pierwsze – proste wyjaśnienie
Definicja znana jest nam oczywiście już od szkoły podstawowej. Liczby pierwsze to naturalne liczby większe od 1, które posiadają dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie.
Już w Starożytności Euklides zakładał, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Przerwy pomiędzy nimi mogą być naprawdę różne, od najmniejszych po ogromne (np. oddzielone setkami innych cyfr).
Współcześnie liczby pierwsze wykorzystywane są w szyfrowaniu transakcji bankowych oraz w kryptografii.
W przeciwieństwie do tworzącego Złoty Podział ciągu Fibonacciego, niesforne liczby pierwsze wydają się chaotyczne i całkowicie nieprzewidywane. Zupełnie jak ja! 🤭
Liczby pierwsze i ich przekleństwo
Niemożność znalezienia jednoznacznej reguły dla występowania liczb pierwszych od wieków wzbudza w matematykach poczucie niespełnienia. Wszak piękno „królowej nauk” wynika z regularności jej struktur. Tutaj nie ma miejsca na przypadkowość.
Hipoteza Riemanna to jeden z nierozwiązanych jeszcze problemów matematycznych. Najprościej mówiąc, koncepcja ta zakłada, że miejsca zerowe funkcji (utworzonej z sekwencji liczb pierwszych), po naniesieniu na płaszczyznę będą leżały w linii prostej. Nie udowodniono jednak, że wszystkie liczby pierwsze będą spełniały te założenia oraz że nie będzie jakiegoś odstępstwa od reguły.
Hipotezę tę można poznać lepiej w tym filmie dokumentalnym. Sama obejrzałam go wiele lat temu i od tego czasu liczby pierwsze nieco mnie intrygują 😉 .
Wybitny Amerykański ekonomista i matematyk John Nash (którego historię opowiada film Piękny umysł) ogłosił w latach 50- ych rozwiązanie zagadki liczb pierwszych.
Miał je przedstawić w jednym z wykładów, jednak został w jego trakcie pokonany przez chorobę – popadł w otchłań schizofrenicznych nielogiczności. Liczby pierwsze uznawane są za przeklęte i sprowadzające na jej badaczy widmo szaleństwa.
Spirala Ulama
Przyznaję, że kiedy natknęłam się na tę koncepcję, to bardzo mnie poruszyła. W pewien sposób potwierdziła bowiem moje przekonanie o braku przypadkowości. Polega ona na przedstawieniu liczb naturalnych w układzie spiralnym, a następnie oznaczenie w nim wyłącznie liczb pierwszych.
Po naniesieniu tysięcy liczb możemy dostrzec ukośne linie, które liczby pierwsze utworzyły. Są one bardziej wyraźne, kiedy liczby pierwsze występują w większym zagęszczeniu.
Warto zaznaczyć, że linie te nie występują, kiedy oznaczymy w taki sposób inne przypadkowe liczby. Rozmieszczenie punków jest wówczas całkowicie chaotyczne:
Uważam ten fakt za „game changer” myślenia o liczbach pierwszych. Musi być w nich jakiś rodzaj naturalnej harmonii i ukryte piękno.
Liczby pierwsze i układ promienisty
Kolejna niezwykle interesująca wizualizacja związana z liczbami pierwszymi powstanie po naniesieniu ich na układ współrzędnych biegunowych. Obie współrzędne każdego z ciemnych punktów są liczbami pierwszymi (np. 3,3; 5,5; 7,7; 11,11 itd.), a początek znajduje się w centralnym punkcie układu. Tak wyglądają naniesione na niego liczby pierwsze od 1 do 100:
Oto ich rozmieszczenie przy użyciu 2500 liczb:
Tak natomiast przedstawia się układ przy naniesieniu 100000 liczb pierwszych:
A w innej formie graficznej prezentują się tak:
Czyż nie jest to absolutnie fascynujące? Początkowo liczby pierwsze tworzą spiralę, zaś po naniesieniu ich większej ilości zamieniają się w jakiś rodzaj układu promienistego. Przywodzi mi to na myśl koncepcje Świętej Geometrii i harmonijnej struktury wszechświata. Wszak spirala należy do tych wyjątkowych kształtów, które tworzą naszą rzeczywistość (na przykład w galaktykach). Niestety, rozmieszczenie liczb pierwszych w takiej formie nie zostało jeszcze wyjaśnione.
Warto jeszcze zwrócić uwagę na Spiralę Sacks’a, w której liczby pierwsze układają się w jeszcze inną sekwencję:
Wierzę, że dzięki rozwojowi technologii możliwe będzie rozwiązanie zagadki liczb pierwszych. Już teraz dzięki niej możemy podziwiać złożone wizualne układy, co przez wiele lat wydawało się abstrakcyjne. Komputerom nie grozi także szaleństwo z owianym złą sławą przekleństwem liczb pierwszych 🙃.
A może na kogoś z Was czeka milion dolarów nagrody za udowodnienie hipotezy związanej z liczbami pierwszymi? Powodzenia!
